Bài tập hằng đẳng thức bao gồm kiến thức lý thuyết và nhiều dạng câu hỏi khác nhau có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tự luyện. Qua đó các bạn học sinh lớp 8 củng cố và mở rộng kiến thức giải toán về hằng đẳng thức của mình tiến bộ hơn.
Bài tập về hằng đẳng thức là tài liệu vô cùng hữu ích, các em học sinh sẽ được thử sức với các dạng bài tập tự luận từ cơ bản đến nâng cao. Qua tài liệu này giúp các em tự tin kiểm tra và nắm vững kiến thức mình đã học ở chương trình về hằng đẳng thức đáng nhớ. Với một số bài tập về hằng đẳng thức tự luyện nhằm giúp các em ôn luyện vận dụng vào giải bài tập thật nhuần nhuyễn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu bài tập về hằng đẳng thức đáng nhớ mời các bạn cùng theo dõi tại đây. Bên cạnh đó để nâng cao kiến thức Toán 8 các bạn xem thêm bài tập toán nâng cao lớp 8, bài tập hiệu hai bình phương.
A. Lý thuyết 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
– Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Ví dụ:
\((\mathrm{x}+2)^{2}=\mathrm{x}^{2}+2 . \mathrm{x} \cdot 2+2^{2}=\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{x}+4\)
2. Bình phương của một hiệu
– Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Ví dụ:
( x – 2)2 = x2 – 2. x. 22 = x2 – 4x + 4
3. Hiệu hai bình phương
– Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
Ví dụ:
\(x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=(x-2)(x+2)\)
4. Lập phương của một tổng
– Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Phát biểu thành lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai rồi cộng với lập phương số thứ hai.
Ví dụ minh họa
\(a. {{\left( x+2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.2y+3.x.{{\left( 2y \right)}^{2}}+{{\left( 2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}y+12x{{y}^{2}}+8{{y}^{3}}\)
\(b. {{\left( 1+y \right)}^{3}}={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}.y+3.1.{{y}^{2}}+{{y}^{3}}=1+3y+3{{y}^{2}}+{{y}^{3}}\)
\(c. {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+8={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.2+3.x{{.2}^{2}}+{{2}^{3}}={{\left( x+2 \right)}^{3}}\)
5. Lập phương của một hiệu
– Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất – 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai – lập phương số thứ hai.
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
Phát biểu thành lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai rồi trừ với lập phương số thứ hai.
Ví dụ minh họa
\(a. {{\left( x-y \right)}^{3}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}\)
\(b. (2-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}})-({{y}^{3}}{{x}^{3}}+1)=2-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{3}}{{y}^{3}}-1=1-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{3}}{{y}^{3}}\)
\(=1-{{3.1}^{2}}.xy+3.1.{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( xy \right)}^{3}}={{\left( 1-xy \right)}^{3}}\)
6. Tổng hai lập phương
– Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Ví dụ;
\(x^{3}+8=x^{3}+2^{3}=(x+2)\left(x^{2}-2 x+4\right)\)
\(a. {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\)
\(b. {{\left( 2x-1 \right)}^{3}}=\left( 2x-1 \right)\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)\)
7. Hiệu hai lập phương
– Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ:
\(\mathrm{du}: \mathrm{x}^{3}-8=\mathrm{x}^{3}-2^{3}=(\mathrm{x}-2)\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+4\right)\)
\(\mathrm{x}^{3}-8=\mathrm{x}^{3}-2^{3}=(\mathrm{x}-2)\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+4\right)\)
B. Ví dụ minh họa về hằng đẳng thức
Ví dụ 1
Viết các biểu thức sau thành đa thức:
\(a) (3x+4)^{2}\)
\(b) (5x-y)^{2}\)
\(c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}\)
Gợi ý đáp án
\(a) (3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16\)
\(b) (5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}\)
\(c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}\)
Ví dụ 2
Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu
\(a) x^{2}+2x+1\)
\(b) 9-24x+16x^{2}\)
\(c) 4x^{2}+\frac{1}{4}+2x\)
Gợi ý đáp án
\(a) x^{2}+2x+1=x^{2}+2x+1^{2}=(x+1)^{2}\)
\(b) 9-24x+16x^{2}=3^{2}-24x+(4x)^{2}=(3-4x)^{2}\)
\(c) 4x^{2}+\frac{1}{4}+2x=(2x)^{2}+2x+(\frac{1}{2})^{2}\)
\(=(2x+\frac{1}{2})^{2}\)
Ví dụ 3
Viết các biểu thức sau thành đa thức:
\(a) (3x – 5)(3x + 5)\)
\(b) (x – 2y)(x + 2y)\)
\(c) (-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)\)
Gợi ý đáp án
\(a) (3x – 5)(3x + 5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25\)
\(b) (x – 2y)(x + 2y)=x^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}\)
\(c) (-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)=(-x)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}\)
\(=x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}\)
Ví dụ 4
a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức
b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x – 2 dưới dạng đa thức
Gợi ý đáp án
\(a) (2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9\)
\(b) (3x-2)^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8\)
Ví dụ 5
Tính nhanh
\(a) 38 \times 42\)
\(b) 102^{2}\)
\(c) 198^{2}\)
\(d) 75^{2}-25^{2}\)
Gợi ý đáp án
\(a) 38 \times 42 = (40-2)(40+2)\)
\(=40^{2}-2^{2}=1600-4=1598\)
\(b) 102^{2}=(100+2)^{2}=100^{2}+2\times 100 \times 2 +2^{2}\)
\(=10000+400+4=10404\)
\(c) 198^{2}=(200-2)^{2}=200^{2}- 2 \times 200 \times 2+2^{2}\)
\(=40000-800+4=39204\)
\(d) 75^{2}-25^{2}=(75-25)(75+25)=50\times 100=5000\)
Ví dụ 6
Viết các biểu thức sau thành đa thức:
\(a) (2x-3)^{3}\)
\(b) (a+3b)^{3}\)
\(c) (xy-1)^{3}\)
Gợi ý đáp án
\(a) (2x-3)^{3}=(2x)^{3}-3 \times (2x)^{2}\times 3 +3 \times 2x\times 3^{2}-3^{3}\)
\(=8x^{3}-36x^{2}+54x-27\)
\(b) (a+3b)^{3}=a^{3}+3\times a^{2}\times (3b)+3\times a\times (3b)^{2}+(3b)^{3}\)
\(=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}\)
\(c) (xy-1)^{3}=(xy)^{3}-3\times (xy)^{2}\times 1+3\times xy\times 1^{2}-1^{3}\)
\(=x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{2}+3xy-1\)
Ví dụ 7: Rút gọn các biểu thức:
a, \(\left( {2a – 3b + 4c} \right)\left( {2a – 3b – 4c} \right)\)
b, \(\left( {3x + 4y – 5z} \right)\left( {3x – 4y + 5z} \right)\)
c, \({\left( {3a – 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} – 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\)
d, \({\left( {3x – 4} \right)^2} – 2\left( {3x – 4} \right)\left( {x – 4} \right) + {\left( {4 – x} \right)^2}\)
Gợi ý trả lời
a,
\(\begin{array}{l} \left( {2a – 3b + 4c} \right)\left( {2a – 3b – 4c} \right)\\ = {\left( {2a – 3b} \right)^2} – {\left( {4c} \right)^2}\\ = 4{a^2} – 12ab + 9{b^2} – 16{c^2} \end{array}\)
b,
\(\begin{array}{l} \left( {3x + 4y – 5z} \right)\left( {3x – 4y + 5z} \right)\\ = {\left( {3x} \right)^2} – {\left( {4y – 5z} \right)^2}\\ = 9{x^2} – \left( {16{y^2} – 40yz + 25{z^2}} \right)\\ = 9{x^2} – 16{y^2} + 40yz – 25{z^2} \end{array}\)
c,
\(\begin{array}{l} {\left( {3a – 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} – 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left( {3a – 1} \right)^2} + 2.\left( {3a – 1} \right)\left( {3a + 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left[ {\left( {3a – 1} \right) + \left( {3a + 1} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {6a} \right)^2} = 36{a^2} \end{array}\)
d,
\(\begin{array}{l} {\left( {3x – 4} \right)^2} – 2\left( {3x – 4} \right)\left( {x – 4} \right) + {\left( {4 – x} \right)^2}\\ = {\left( {3x – 4} \right)^2} – 2\left( {3x – 4} \right)\left( {x – 4} \right) + {\left( {x – 4} \right)^2}\\ = {\left( {3x – 4 – x + 4} \right)^2}\\ = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2} \end{array}\)
Ví dụ 8:
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:
a, \(A = 5x – {x^2}\)
b, \(B = – {x^2} + 2x + 9\)
Gợi ý đáp án
a, \(A = 5x – {x^2} = – \left( {{x^2} – 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) + \frac{{25}}{4} = – {\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}\)
Có \(- {\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow – {\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)
Vậy \(\max A = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)
b, \(B = – {x^2} + 2x + 9 = – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + 10 = – {\left( {x – 1} \right)^2} + 10\)
Có \(- {\left( {x – 1} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow – {\left( {x – 1} \right)^2} + 10 \le 10\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x = 1\)
Vậy max B = 10 khi và chỉ khi x = 1
C. Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài toán 1: Tính
\(1 .(\mathrm{x}+2 \mathrm{y})^{2} \mid\)
\(2 .(2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y})^{2}\)
\(3 .(3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y})^{2}\)
\(4 .(5 \mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}\)
\(5 .\left(\mathrm{x}+\frac{1}{4}\right)^{2}\)
\(6 .\left(2 \mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^{2}\)
\(7 .\left(\frac{1}{3} \mathrm{x}-\frac{1}{2} \mathrm{y}\right)^{2}\)
\(8 .(3 \mathrm{x}+1)(3 \mathrm{x}-1)\)
\(9 .\left(\mathrm{x}^{2}+\frac{2}{5} \mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}^{2}-\frac{2}{5} \mathrm{y}\right)\)
\(10 .\left(\frac{\mathrm{x}}{2}-\mathrm{y}\right)\left(\frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{y}\right)\)
\(11 .\left(\frac{\mathrm{x}}{2}-2 \mathrm{y}\right)^{2}\)
\(12 .(\sqrt{2} \mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}\)
\(13 .\left(\frac{3}{2} \mathrm{x}+3 \mathrm{y}\right)^{2}\)
\(14 .(\sqrt{2} \mathrm{x}+\sqrt{8 \mathrm{y}})^{2}\)
\(15 .\left(\mathrm{x}+\frac{1}{6} \mathrm{y}+3\right)^{2}\)
\(16 .\left(\frac{1}{2} \mathrm{x}-4 \mathrm{y}\right)^{2}\)
\(17 .\left(\frac{\mathrm{x}}{2}+2 \mathrm{y}^{2}\right)\left(\frac{\mathrm{x}}{2}-2 \mathrm{y}^{2}\right)\)
\(18 .\left(\mathrm{x}^{2}-4\right)\left(\mathrm{x}^{2}+4\right)\)
\(19 .(\mathrm{x}+\mathrm{y})^{2}+(\mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}\)
\(20 .(2 \mathrm{x}+3)^{2}-(\mathrm{x}+1)^{2}\)
Bài toán 2: Tính
\(1. \left(\mathrm{x}+\frac{1}{3}\right)^{3}\)
\(2 . \left(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}^{2}\right)^{3}\)
\(3)\left(\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}+9\right)\)
\(4 .\left(3 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{y}\right)^{3}\)
\(5 .\left(\frac{2}{3} \mathrm{x}^{2}-\frac{1}{2} \mathrm{y}\right)^{3}\)
\(6 .\left(2 \mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^{3}\)
\(7 .(\mathrm{x}-3)^{3}\)
\(8 . \mid(\mathrm{x}+1)\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1\right)\)
\(9 . (\mathrm{x}-3)\left(\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}+9\right)\)
\(10 .(\mathrm{x}-2)\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+4\right)\)
\(1 . \mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+9\)
\(2.25+10 \mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}\)
\(3 . \frac{1}{4} \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ab}^{2}+4 \mathrm{b}^{4}\)
\(4 . \frac{1}{9}-\frac{2}{3} \mathrm{y}^{4}+\mathrm{y}^{8}\)
\(5 . \mathrm{x}^{3}+8 \mathrm{y}^{3}\)
\(6.8 \mathrm{y}^{3}-125\)
\(7 . \mathrm{a}^{6}-\mathrm{b}^{3}\)
\(8 . \mathrm{x}^{2}-10 \mathrm{x}+25\)
\(9. 8 \mathrm{x}^{3}-\frac{1}{8}\)
\(10 . \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{xy}+4 \mathrm{y}^{2}\)
Bài 4: Tính nhanh
\(1. 1001^{2}\)
2. 29,9.30,1
\(3. 201^{2}\)
4. 37.43
\(5. 199^{2}\)
